在高等数学的线性代数领域中,行列式是一个极为重要的概念，它在求解线性方程组、计算矩阵的特征值等诸多方面都有着广泛的应用，而三阶行列式作为行列式中的一个重要类型，其计算 更是基础且关键，下面我们就来详细探讨三阶行列式的几种常见计算 。
对角线法则
对角线法则是计算三阶行列式最直观的 之一,对于一个三阶行列式 [ \begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a_{33} \end{vmatrix} ] 它的值等于从左上角到右下角的三条对角线上元素之积的和，减去从右上角到左下角的三条对角线上元素之积的和，具体计算过程如下：
从左上角到右下角的三条对角线元素乘积分别为：(a{11}a{22}a{33})、(a{12}a{23}a{31})、(a{13}a{21}a{32})；从右上角到左下角的三条对角线元素乘积分别为：(a{13}a{22}a{31})、(a{12}a{21}a{33})、(a{11}a{23}a{32})。
则该三阶行列式的值(D=a{11}a{22}a{33}+a{12}a{23}a{31}+a{13}a{21}a{32}-a{13}a{22}a{31}-a{12}a{21}a{33}-a{11}a{23}a{32})。
计算三阶行列式(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 \end{vmatrix}) 按照对角线法则： 从左上角到右下角的三条对角线元素乘积之和为：(1\times5\times9 + 2\times6\times7 + 3\times4\times8=45 + 84+96 = 225)； 从右上角到左下角的三条对角线元素乘积之和为：(3\times5\times7+2\times4\times9 + 1\times6\times8=105 + 72+48 = 225)； 所以该行列式的值为(225 - 225=0)。
需要注意的是,对角线法则只适用于二阶和三阶行列式，对于四阶及以上的行列式并不适用。
按行（列）展开法则
按行（列）展开法则是计算行列式的一种通用 ，它可以将三阶行列式转化为二阶行列式来计算。
设三阶行列式(D=\begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ a{21} & a{22} & a{23} \ a{31} & a{32} & a{33} \end{vmatrix}) 按之一行展开：(D = a{11}A{11}+a{12}A{12}+a{13}A{13}) A{ij}=(-1)^{i + j}M{ij})，(M{ij})是元素(a{ij})的余子式，它是去掉(a{ij})所在的第(i)行和第(j)列后剩下的二阶行列式。
对于元素(a{11})，它的余子式(M{11}=\begin{vmatrix} a{22} & a{23} \ a{32} & a{33} \end{vmatrix})，代数余子式(A{11}=(-1)^{1 + 1}M{11}=M{11})；元素(a{12})的余子式(M{12}=\begin{vmatrix} a{21} & a{23} \ a{31} & a{33} \end{vmatrix})，代数余子式(A{12}=(-1)^{1+2}M{12}=-M{12})。
同样,我们也可以按其他行或列展开，例如按第二列展开：(D=a{12}A{12}+a{22}A{22}+a{32}A{32})
以行列式(\begin{vmatrix} 2 & 1 & -1 \ 4 & -1 & 1 \ 20 & 1 & -4 \end{vmatrix})为例，按之一行展开： (A{11}=(-1)^{1 + 1}\begin{vmatrix} -1 & 1 \ 1 & -4 \end{vmatrix}=(-1)\times(-4)-1\times1 = 3) (A{12}=(-1)^{1 + 2}\begin{vmatrix} 4 & 1 \ 20 & -4 \end{vmatrix}=-(4\times(-4)-1\times20)=36) (A_{13}=(-1)^{1 + 3}\begin{vmatrix} 4 & -1 \ 20 & 1 \end{vmatrix}=4\times1-(-1)\times20 = 24)
则(D=2\times3+1\times36+(-1)\times24=6 + 36-24 = 18)
利用行列式的性质化简后计算
行列式具有一些重要的性质,如交换两行（列），行列式的值变号；某行（列）的元素乘以一个数(k)，行列式的值也乘以(k)；某行（列）的元素加上另一行（列）对应元素的(k)倍，行列式的值不变等，我们可以利用这些性质将三阶行列式化简为上三角或下三角行列式，然后直接计算其值。
上三角行列式(\begin{vmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \ 0 & a{22} & a{23} \ 0 & 0 & a{33} \end{vmatrix})和下三角行列式(\begin{vmatrix} a{11} & 0 & 0 \ a{21} & a{22} & 0 \ a{31} & a{32} & a{33} \end{vmatrix})的值都等于主对角线元素之积(a{11}a{22}a_{33})。
计算行列式(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 2 & 3 & 1 \ 3 & 1 & 2 \end{vmatrix}) 将之一行乘以(-2)加到第二行，之一行乘以(-3)加到第三行，得到(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & -5 \ 0 & -5 & -7 \end{vmatrix}) 再将第二行乘以(-5)加到第三行，得到(\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \ 0 & -1 & -5 \ 0 & 0 & 18 \end{vmatrix}) 所以该行列式的值为(1\times(-1)\times18=-18)
三阶行列式有多种计算 ,在实际计算中，我们可以根据行列式的特点选择合适的 ，以提高计算效率和准确性，掌握这些计算 对于深入学习线性代数以及解决相关的数学问题都具有重要的意义。
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